[선형대수] 행렬 방정식

행렬이란?

행렬은 행과 열을 가지고 있는 것을 의미합니다. 지난시간에 알아본 벡터를 활용하여 행렬을 표현할 수도 있습니다. $\mathbb{R}^n$의 차원을 가지는 벡터 $\vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3} \cdots\vec{a_n}$가 있다고 할 때 벡터를 각 열로 판단한다면 아래와 같이 표현될 수 있습니다. 
$$
\mathcal{A}x =\begin{bmatrix} \vec{a_1} & \vec{a_2} & \vec{a_3} \ \dots \ \vec{a_n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}
= x_1\vec{a_1} + x_2\vec{a_2} + x_3\vec{a_3} \cdots x_n\vec{a_n}
$$
벡터에서 배웠던 내용을 떠올려보며 위 식을 생각해보면, $\mathcal{A}$는 linear combination으로 의미하며 $x$는 weight로 표현해도 무방하다는 것을 알게됩니다. 따라서 행렬은 결국 벡터방정식과 100% 동일한 모습으로 해석하고 풀이할 수 있습니다. 

 

행렬의 곱셈

저는 고등학교때 수학으로 행렬을 배웠었지만, 최근 고등학교 수학 범위에서 행렬이 제외되며 처음 접하는 분들이 많을 것이라고 생각합니다. 행렬을 처음 보시는 분들을 위해 간단하게 행렬의 연산에 대하여 알아보고자 합니다. 행렬의 덧셈과 뺄셈은 같은 위치에 대하여 더하고 빼기만 하면 되기 때문에 전혀 어렵지 않습니다. 그리고 현재 선형대수를 배우는 단계에서는 덧셈과 뺄셈보다는 곱셈에 대하여 이해하는 것이 중요합니다. 따라서 곱셈에 대하여만 자세히 알아보도록 하겠습니다.

행렬의 곱셈의 가장 큰 특징은 교환법칙이 성립하지 않습니다. 따라서 $AB \not= BA$ 조건을 만족하게 됩니다. 그 이유는 곱셈을 하다보면 자연스럽게 이해가 될 것입니다. 행렬의 곱셈이 가능한 조건은 앞의 행렬의 열과 뒤에 행렬의 행의 길이가 일치해야합니다. 그 이유는 행렬의 곱셈은 앞의 행의 위치와 뒤의 열의 위치를 곱하여 계산해주기 때문입니다.

 

예시를 직접 연산해보며 이해하도록 하겠습니다.
$$
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} 
\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}
~~
B =
\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} 
\\ b_{21} & b_{22} 
\\ b_{31} & b_{32} \end{bmatrix}
$$
$$
A*B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} 
\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}
*
\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} 
\\ b_{21} & b_{22} 
\\ b_{31} & b_{32} \end{bmatrix}
$$
$2\times3$인 $A$행렬과 $3\times2$ $B$행렬을 곱하는 과정을 알아보겠습니다. 우선 앞 행렬 A는 열의 크기가 3 그리고 뒤 행렬인 B의 행의 크기가 3으로 일치하므로 곱셈이 가능합니다. 

곱셈이 가능하다는 것을 알았으니 이제 곱셈을 하도록 하겠습니다.
$$
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} 
\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}
*
\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} 
\\ b_{21} & b_{22} 
\\ b_{31} & b_{32} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 
a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & 
a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32}
\\ 
a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31}
& a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \end{bmatrix}

$$

1. A행렬의 1행의 값과 B행렬의 1열의 값들의 원소를 순서대로(왼쪽에서 오른쪽, 그리고 위에서 아래)로 곱하여 더해줍니다. 그리고 그 원소는 1행 1열에 넣어줍니다.
2. 다음으로 A행렬의 1행의 값과 B행렬의 2열의 값들의 원소를 순서대로 곱해주고 그 원소를 1행 2열에 넣어줍니다.
3. 그 다음은 A행렬의 2행의 값과 B행렬의 1열의 값들의 원소를 순서대로 곱하여 2행 1열에 넣어줍니다.
4. 마지막으로 A행렬의 2행과 B행렬의 2열의 값을 곱하여  2행 2열에 넣어줍니다.

최종 결과로 $2\times2$행렬을 얻을 수 있습니다. 앞의 행렬의 곱하는 행의 위치 그리고 뒤에 행렬의 곱하는 열의 위치에 따라 결과 행렬의 행과 열이 정해지는 것을 확인할 수 있습니다. 따라서 결과행렬은 앞의 행렬의 행과 뒤의 행렬의 열의 크기를 따라간다는 것 까지 알 수 있습니다.